Rất Hay: Ma trận bậc thang (Echelon matrix) | Maths 4 Physics & more

I. Những phép toán và phép chuyển đổi sơ cấp so với ma trận:

Những phép chuyển đổi tại đây so với loại (sản phẩm) của ma trận được gọi là phép chuyển đổi sơ cấp trên loại (sản phẩm)

1.Nhân toàn bộ những phần tử của một loại với cùng một số khác 0, ( Trở nên loại ia lần loại i), ký hiệu: thành

2.Cùng những phần tử của một loại vẫn nhân cho cùng một số vào những phần tử ứng của 1 loại khác. (Trở nên loại i thành loại i cùng a loại j), ký hiệu:

3. Đổi mùi vị trí nhị sản phẩm. (hoán mùi vị loại i và loại j cùng nhau), ký hiệu:

Tương tự ta cũng mang những phép chuyển đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân toàn bộ những phần tử của một cột với cùng một số khác 0, ( Trở nên cột i thành a lần cột i), ký hiệu:

2.Cùng những phần tử của một cột vẫn nhân cho cùng một số vào những phần tử ứng của 1 cột khác. (Trở nên cột i thành cột i cùng a cột j), ký hiệu:

3. Đổi mùi vị trí nhị cột. (hoán mùi vị cột i và cột j cùng nhau), ký hiệu:

Những phép chuyển đổi sơ cấp loại thường xuyên cột được xem như là phép chuyển đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Khái niệm:

1. Một loại (thường xuyên cột) của ma trận A được gọi là loại ko – zero row – (cột ko) nếu nó chỉ bao gồm những phần tử 0. Trái lại, nếu loại (cột) của ma trận A mang tối thiểu một phần tử khác 0 thì nó được gọi là loại (cột) khác ko.

2. Phần tử khác ko trước nhất của một sản phẩm (tính từ trái lịch sự) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của sản phẩm đấy (hoặc cột đấy)

3. A là ma trận khác ko cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang loại (row-echelon matrix), nếu nó mang những Điểm sáng tại đây:

3.1 Hoặc A ko mang loại ko hoặc những loại ko của A luôn luôn thuộc phía dưới những loại khác ko.

3.2 Nếu A mang tối thiểu nhị loại khác ko thì so với nhị loại khác ko ngẫu nhiên của nó, phần tử cơ sở của loại dưới luôn luôn thuộc ở phía phải cột chứa phần tử cơ sở của loại trên.

3. A là ma trận khác ko cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó mang những Điểm sáng tại đây:

3.1 Hoặc A ko mang cột ko hoặc những cột ko của A luôn luôn thuộc phía phía phải những cột khác ko.

3.2 Nếu A mang tối thiểu nhị cột khác ko thì so với nhị cột khác ko ngẫu nhiên của nó, phần tử cơ sở của cột phía phải luôn luôn thuộc ở dưới loại chứa phần tử cơ sở của cột phía trái.

4. Những ma trận bậc thang loại thường xuyên cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa mang dạng bậc thang loại, vừa mang dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi sản phẩm và cột luôn luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một biện pháp trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang loại và ma trận bậc thang cột sẽ mang dạng như sau:

Ví dụ minh họa:

Xét :

thì A ko phải là ma trận bậc thang loại, vì thế phần tử khác ko trước nhất của loại 5, ko thuộc phía phía phải cột chứa phần tử khác ko trước nhất của loại 4.

Tuy rằng nhiên, nếu vận dụng phép chuyển đổi sơ cấp loại bằng phương pháp chuyển đổi ta mang:

Ta sẽ mang được ma trận bậc thang loại.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận mang thể đưa về dạng bậc thang nhờ những phép chuyển đổi sơ cấp so với sản phẩm (cột)