Trong toán học công thức lượng giác được xem là khá quan trọng đối với học sinh thường được sử dụng phổ biến trong các kỳ thi hay giải bài tập thường ngày. Chính vì vậy bảng lượng giác là một trong những kiến thức mà bắt buộc học sinh cần phải nhớ. Qua bài viết dưới đây chúng tôi sẽ tổng hợp tất cả về kiến thức lượng cơ bản dễ vận dụng nhất khi làm bài tập.
Tìm hiểu về lượng giác
Bảng công thức lượng giác được học sinh ứng dụng rất nhiều vào giải các bài tập thường ngày. Vậy bạn đã biết nguồn gốc của hàm lượng giác bắt đầu từ đâu chưa? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ngay sau đây.
Nguồn gốc lượng giác
Công thức lượng giác được học sinh trung học phổ thông sử dụng phổ biến trong giải các bài toán hay kì thi. Vậy công thức này có nguồn gốc từ đâu?
Nguồn gốc của công thức lượng giác được tìm thấy trong nền văn hóa của Ai Cập Cổ Đại, Babylon và nền văn minh khu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm về trước. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là một trong những người tiên phong trong việc tính toán trong các ẩn số đại số để tính toán thiên văn bằng lượng giác. Nhà toán học Lagadha là người duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học ở cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, hơn nữa các công trình của ông đã bị tiêu hủy do người Ấn bị người nước ngoài xâm lược.
Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng 150 TCN đã biên soạn bảng công thức lượng giác để giải các tam giác.
Nhà toán học người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus người đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1959 cũng như được giới thiệu thuật ngữ này bằng tiếng Anh và tiếng Pháp.
Một số nhà toán học nói rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ về mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học. Vì vậy nên nó rất quan trọng trong đo đạc.
Ứng dụng công thức lượng giác
Lượng giác được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật của phép đo đạc trong thiên văn để đo khoảng cách của ngôi sao gần. Trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay các hệ thống hoa tiêu vệ tinh.
Ngày nay, một số lĩnh vực được ứng dụng về lượng giác như thiên văn, quang học, âm học, lý thuyết âm nhạc, phân tích thị trường tài chính, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, địa chấn học, khí tượng học, kiến trúc, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học…
Mô hình hiện đại và khá trừu tượng của lượng giác và các khái niệm liên quan như “ bình phương sin của góc” và “ bình phương khoảng cách” thay vì độ dài, điều đó đã được tiến sĩ Norman Wildberger.
Thế nào là lượng giác?
Lượng giác là một trong những nhánh của toán học được sử dụng để đo các cạnh và góc của tam giác. Hàm lượng giác sẽ áp dụng
- Tham khảo thêm: Công thức tính thể tích hình nón nhanh và chính xác nhất
Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt
Mẹo nhớ các công thức lượng giác cos đối, sin bù, phụ chéo và tan hơn kém nhau π
Công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng
Một số công thức cơ bản về lượng giác mà học sinh cần phải ghi nhớ.
Đối với cung hơn kém nhau π/2
- cos(π/2 + x) = – sinx
- sin(π/2 + x) = cosx
Công thức nhân đôi, nhân ba và công thức hạ bậc
Công thức lượng giác vận dụng trong làm bài tập mà học sinh cần phải ghi nhớ kỹ, những công thức này được xây dựng từ những công thức đơn giản nhất.
Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
Mẹo ghi nhớ công thức biến tổng thành tích Cos cộng cos bằng hai cos cos.
- Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin.
- Sin cộng sin bằng hai sin cos.
- Sin trừ sin bằng hai cos sin
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Dưới đây là một số công thức tính nghiệm của hàm lượng giác được sử dụng nhiều nhất hiện nay.
Nghiệm của phương trình lượng giác trong một số trường hợp đặc biệt sau đây:
- sin x = 0 ⇔ x = kπ; (k ∈ Z)
- sin x = 1 ⇔ x = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
- sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
- cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
- cos x = 1 ⇔ x = k2π; (k ∈ Z)
- cos x = -1 ⇔ x = π + k2π; (k ∈ Z)
- Tham khảo thêm: Bộ công thức đạo hàm, đạo hàm lượng giác chi tiết, chính xác
Một số bài toán về lượng giác cơ bản
Bài tập có lời giải chi tiết
Bài 1: a).Cho sin α= ⅔ . Tính cos α với α ∈ (90°; 180°)
b) Tính giá trị lượng giác của biểu thức sin x = ⅖ , x ∈ ( π/2 , π). Tính cosx
Bài giải
α. là góc tù => cos α < 0
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 – sin2a = 1 – 4/9 = 5/9
=> cos α = -√5/3 (vì cos α < 0)
b- sin2a = 4/25
=> cos2a = 1 – 4/25 = 21/25
= > cos x = √21/5
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y = 2019 + 2018 sinx
=> -1 ≤ sin x ≤ 1
=> – 2018 ≤ 2018 sinx ≤ 2018
=> 1 ≤ y ≤ 4037
=> Ymax = 4037 ⇔ sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π
Ymin = 1 ⇔ sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π
Bài 3: Giải phương trình sau
- 2 sin
- 2
- x +
- √3 sin 2x = 3
- sin x + cos x = 1 – ½ sin 2x
Giải
a, 2 sin2x + √3 sin 2x = 3 ta có:
Xét cos x = 0, Phương trình tương đương 2 = 3( không thỏa mãn)
Xét cos x = 0, chia cả hai vế cho cos2x ta có như sau:
2 tan2x + 2√3 tanx = 3(tan2x + 1) ⇔ tan2x = 2√3 + 3 = 0
⇔ tanx = √3 ⇔ x = π/3 + kπ, k ∈ Z
b. sin x + cos x = 1 – ½ sin 2x Đặt t = sin x + cos x (|r| ≤ √2)
=> sin 2x = 1 – t2 /2
=> t = 1 – ½ . 1 – t2 /2 ⇔ r2 – 4r + 3 = 0 ⇔ t = 0 và t = 3 (loại)
=> sin x + cosx = 1 ⇔ √2 sin (x +π/2) = 1 ⇔ sin x (x + π/4) = sin π/4
⇔ x = k2π hoặc x = π/2 + k2π
Bài 4: Tính giá trị biểu thức
A = cos 0° + cos 20° + cos 40°+… + cos 120° + cos 140°
Áp dụng lượng giác của cung bù nhau ta có như sau:
Cos 140° = – cos (180° – 140°) = – cos40
Cos 120° = – cos (180° – 120°) = – cos60
Cos 100° = – cos (180° – 100°) = – cos80
=> 0 + 0 + 0 = 0
Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau
cos 2π/9 – cos π/9 + sin -π/18 = (cos 2π/9 – cos π/9) + sin -π/18
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có như sau
-2sin π/6. sin π/18 + sin -π/18 = – 2 . ½ sin π/18 + sin -π/18
= – sin π/18 + – sin π/18 = – 2 sin π/18
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 1 – 2|cos3x|
Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: cos π/2 – cos π/4 + sin -π/12
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
A = cos 20° + cos 40° + cos 60°+… + cos 100° + cos 120°
Bài 4: Giải phương trình sau
a. 3 sin2x + √4 sin 2x = 2
b. sin x + cos x = 3 – ½ sin 2x
Bài 5: Cho sin α= ½ . Tính cos α với α ∈ (90°; 180°)
Trên đây là bảng công thức lượng giác đầy đủ, chi tiết nhất hiện nay mà đội ngũ Phongreviews đã chia sẻ và tổng hợp. Hy vọng những kiến thức trên hữu ích đối với bạn giúp bạn vận dụng được trong làm các dạng bài tập.
- Tham khảo thêm: Cách tính diện tích hình thang chi tiết, chuẩn xác nhất